En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados.
Partes de un triángulo rectángulo
Los dos lados que conforman el ángulo de 90° son los Catetos y el otro lado es llamado Hipotenusa.
En particular, en un triángulo rectángulo se cumple el llamado teorema de Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Un matemático Griego llamado Pitágoras descubrió y probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos: la suma de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Algebraicamente, el teorema se escribe a2 + b2 = h2
Este Teorema de Pitágoras tiene muchas aplicaciones en la ciencia, el arte, la ingeniería y la arquitectura.
Parece simple, pero intentemos con un triángulo rectángulo para ver si es cierto...
Demostración del teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Tarea: Investigar por lo menos una de las demostraciones del teorema de Pitágoras para compartir en clase:
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
Tarea: Investigar por lo menos una de las demostraciones del teorema de Pitágoras para compartir en clase:
Biografía de Pitágoras:
Encontrando los valores desconocidos en un Triángulo Rectángulo con el Teorema de Pitágoras
Se puede calcular el valor de la hipotenusa conociendo el valor de los dos catetos o el valor de un cateto, conociendo el valor de la hipotenusa y un cateto.
Explicación en Vídeo:
Ejemplo 1. Hallando la hipotenusa.
En el triángulo de arriba, nos dan las medidas de los catetos a = 5 y b = 12, respectivamente. Podemos usar el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor de la longitud de c, la hipotenusa.
Ejemplo 2. Hallando un Cateto.
USANDO
EL TEOREMA DE PITÁGORAS PARA RESOLVER PROBLEMAS COTIDIANOS
Los arquitectos e Ingenieros usan extensivamente esta fórmula cuando construyen rampas:
Ejemplo 3. Los propietarios de una casa quieren convertir a una rampa los escalones que llevan del suelo al porche. El porche está a 90 cm sobre el suelo, y debido a regulaciones de construcción, la rampa debe empezar a 3 metros de distancia con respecto al porche. ¿Qué tan larga debe ser la rampa?
Para resolver un problema como este, normalmente dibujamos un diagrama simple que muestre los catetos y la hipotenusa del triángulo.
Se deben manejar las mismas unidades, por lo que en vez de 3 mt, se trabajará con su equivalente en cm: 3 mt = 300 cm
La respuesta es que la rampa mide 313,2 cm.
Explicación en Video de problemas de aplicación del teorema de Pitágoras:
Ejercicios Interactivos:
Actividad en Clase:
Reúnanse en grupos
(máximo 4) y realicen los siguientes ejercicios:
Problema 1. Calcular la hipotenusa del
triángulo rectángulo de lados 3cm y 4cm.
Problema 2. Si la hipotenusa de un
triángulo rectángulo mide 2cm y uno de sus lados mide 1cm, ¿cuánto mide el otro
lado?
Problema 3. Calcular la hipotenusa del
triángulo rectángulo cuyos lados miden √2 y √3.
Problema 4 (dificultad muy alta)
Calcular la altura del siguiente triángulo sabiendo
que sus lados miden √2, √5 y su base 3
Problema 5. Calcular el perímetro del
siguiente rombo si sabemos que sus diagonales (altura y anchura) miden 16 y 12.
Problema 6. Calcular la
altura que podemos alcanzar con una escalera de 3 metros apoyada sobre la pared
si la parte inferior la situamos a 70 centímetros de ésta.
Problema 7.
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5
metros de longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al
extremo más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del árbol?
Problema 8. La medida que se utiliza en
los televisores es la longitud de la diagonal de la pantalla en unidades de
pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros:
Si David desea comprar un televisor para colocarlo
en un hueco de 96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor?
Problema 9. Un parque de diversiones
quiere construir una nueva atracción que consiste en una tirolesa que parte
desde la base superior de una columna con forma cilíndrica. Si el radio de la
columna es R=2m metros y el área de su lateral es de 120
metros cuadrados, calcular la longitud del cable de la tirolesa para que
alcance el suelo a 40 metros de distancia de la columna.
SIGUE... RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
