Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los elementos que forman el conjunto de datos de Y, también se le llama Rango).
En un lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
Veamos el siguiente vídeo que explica bien que es una función y su diferencia con una relación:
Veamos el siguiente vídeo que explica bien que es una función y su diferencia con una relación:
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 -------- 1
2 -------- 4
3 -------- 9
4 -------- 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 -------- 1
2 -------- 4
3 -------- 9
4 -------- 16
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x -------- x2 o f(x) = x2
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Tipos o clases de funciones
Veamos este vídeo donde podremos ver las diferentes clases de funciones y el dominio y rango respectivo de cada una de ellas:
Bueno, ahí nos falta una en especial, que vamos a ver en este año, que son las funciones trigonométricas.
Continuaremos hablando de cada una de ellas...
Dominio y Rango de una función
El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida.
El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos.
El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mano estaba a 1,5 metros del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 5 metros también con respecto al suelo, entonces el rango es de 1,5 hasta 5 metros.
Resumiendo: El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función.
Ejercicios Interactivos
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2 o f(x) = x2
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = x2, etc.
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Conjunto X
|
Conjunto Y
|
Desarrollo
|
− 2
|
− 1
|
f(−2) = 2(−2) +
3 = −4 + 3 = − 1
|
− 1
|
1
|
f(−1) = 2(−1) +
3 = −2 + 3 = 1
|
0
|
3
|
f(0)
= 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3
|
1
|
5
|
f(1)
= 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5
|
2
|
7
|
f(2)
= 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
|
3
|
9
|
f(3)
= 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
|
4
|
11
|
f(4)
= 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
|
Tomado y adaptado de profesorenlinea.cl
Tipos o clases de funciones
Veamos este vídeo donde podremos ver las diferentes clases de funciones y el dominio y rango respectivo de cada una de ellas:
Bueno, ahí nos falta una en especial, que vamos a ver en este año, que son las funciones trigonométricas.
Continuaremos hablando de cada una de ellas...
Dominio y Rango de una función
El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida.
El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos.
El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mano estaba a 1,5 metros del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 5 metros también con respecto al suelo, entonces el rango es de 1,5 hasta 5 metros.
Resumiendo: El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función.
Tomado y adaptado de montereyinstitute.org
Dominio y Rango en forma gráfica.
Veamos los siguientes ejemplos:
Dominio y rango en forma analítica para funciones polinómicas, racionales y con radicales
Observen los siguientes vídeos:
FUNCIONES POLINÓMICAS:
FUNCIONES POLINÓMICAS:
FUNCIÓN RACIONAL:
FUNCIÓN CON RAICES:
FUNCIÓN A TROZOS:
FUNCIÓN EXPONENCIAL
FUNCIÓN LOGARÍTMICA:
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