Funciones

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los elementos que forman el conjunto de datos de Y, también se le llama Rango).

En un lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

Veamos el siguiente vídeo que explica bien que es una función y su diferencia con una relación:

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 --------   1

                          2 --------   4

                          3 --------   9

                          4 -------- 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                          1 --------  1

                          2 --------  4

                          3 --------  9

                          4 -------- 16

                           x -------- x²

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x -------- x²    o     f(x) = x²

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x²      o     f(x) = x²

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = x², etc.

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

 Tomado y adaptado de profesorenlinea.cl

Tipos o clases de funciones

Veamos este vídeo donde podremos ver las diferentes clases de funciones y el dominio y rango respectivo de cada una de ellas:

Bueno, ahí nos falta una en especial, que vamos a ver en este año, que son las funciones trigonométricas.


Continuaremos hablando de cada una de ellas...

Dominio y Rango de una función

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. 
El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mano estaba a 1,5 metros del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 5 metros también con respecto al suelo, entonces el rango es de 1,5 hasta 5 metros.

Resumiendo:  El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función.

Tomado y adaptado de montereyinstitute.org

Dominio y Rango en forma gráfica.

Veamos los siguientes ejemplos:

Dominio y rango en forma analítica para funciones polinómicas, racionales y con radicales

Observen los siguientes vídeos:

FUNCIONES POLINÓMICAS:

FUNCIÓN RACIONAL:

FUNCIÓN CON RAICES:

FUNCIÓN A TROZOS:

FUNCIÓN EXPONENCIAL

FUNCIÓN LOGARÍTMICA:

Ejercicios Interactivos

• vitutor.com/funciones

• quiz.uprm.edu/dominioyrango

• khanacademy.org/domain-and-range/

Números Irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir como fracción, es decir de la forma a/b y es su forma decimal es infinito no periódico (no se repite ningún patrón de números)

Un ejemplo famoso es el número Pi, es un número irracional. 

El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.

Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.

Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción).

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción, es decir de la forma a/b, se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así: 19/2 = 9,5. Así que no es irracional (es un número racional)

Otros ejemplos:

¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

En la calculadora obtenemos que la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz cuadrada de 2.

Así que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Demostración de la Irracionalidad de Raíz cuadrada de 2

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

e
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

phi
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)

Radicales
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc)


Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números Irracionales

Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras  nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El conocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llegó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.


Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Explicación en vídeo de los números Irracionales:

Representación números irracionales en la recta real

EJERCICIOS INTERACTIVOS

• vitutor.com/irracionales

• educ.ar/numeros_irracionales

WEBGRAFIA:

• disfrutalasmatematicas.com/numeros-irracionales

• numerosirracionales4.blogspot.com.co/historia-de-los-numeros-irracionales

Probabilidad

LOGRO: Solucionar problemas haciendo uso de los conceptos de probabilidad, combinaciones y permutaciones

La probabilidad de un evento es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al evento imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al evento seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Ver más: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm

TIPOS DE EXPERIMENTOS

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos:

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Ver el vídeo: 

TEORÍA DE PROBABILIDADES

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un evento es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por S.

Ejemplos:

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, S}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento Simple

Evento simple es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos:

Tirar un dado un evento sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Un ejemplo completo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n,n,n)}

2. El Evento A = {extraer tres bolas del mismo color}.

A = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El Evento B = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b)}

4. El Evento C = {extraer una sola bola negra}.

C = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

Evento Compuesto

Evento que incluye dos o más eventos independientes.

Un ejemplo es el evento de obtener el mismo lado (la misma cara) al lanzar dos veces una moneda. El resultado del primer lanzamiento no afecta al segundo resultado. Es necesario considerar ambos resultados para determinar el resultado final.

Ejemplo

Tirando un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Eventos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Eventos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Evento Dependiente

Evento cuyo resultado se ve afectado por el resultado de otro(s) evento(s).

Sacar una segunda carta es un evento dependiente cuando se sacó una primera carta sin regresarla al paquete.

Ejemplo:

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Evento Independiente

Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s).

Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.

Ejemplo:

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Ver más: http://www.vitutor.com/pro/2/a_2.html

Actividad:

Responde

1. Uno de los eventos que se obtiene al extraer tres bolas de una urna con dos bolas rojas y una negra es:
a. Sacar negra, roja, roja.
b. Sacar al menos una bola blanca.

c. Sacar negra, roja, negra.

2. Un evento imposible de lanzar un dado es que salga un número que:

a. Sea menor que 6.

b. No sea par ni impar.

c. Sea mayor o igual que 6.

3. Es un evento seguro, que  al lanzar dos dados la suma de las puntuaciones obtenidas sea:
a. Menor que 12.
b. Un número natural.
c. Un número par.

4. Al lanzar un dado son eventos compatibles
a. Sacar par e impar.
b. Sacar múltiplo de 2 y múltiplo de 3.
c. Sacar múltiplo de 3 y múltiplo de 5.

5. Son eventos incompatibles que al lanzar dos dados la suma de las puntuaciones sea:
a. Par e impar
b. Par y múltiplo de 2.
c. Par y múltiplo de 5.

7. Son eventos independientes:
a. Lanzar dos dados.
b. La extracción de una segunda carta (sin reposición) de una baraja.
c. El ADN de un hijo y el de su padre.

8. Es un evento dependiente:
a. La puntuación obtenida al lanzar un segundo dado.
b. El color obtenido al sacar una segunda bola (sin reposición) de una urna con 3 bolas rojas y 2 verdes.
c. El sexo de un segundo hijo.

9. El evento contrario de que al lanzar un dado salga 2 es que salga:
a. Impar.
b. 1, 2, 3, 4, 5, 6.
c. Distinto de 2.

Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica o clásica

La diferencia entre estas dos, las puedes ver en el siguiente vídeo:

TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo ayudan a establecer el número de puntos muestrales (Espacio Muestral) en un experimento.

Las más conocidas son: el principio de la multiplicación, la permutación y la combinación.

En un experimento aleatorio se considera que existe el orden, cuando al conformar los puntos muestrales, el orden en que se ubiquen los elementos de la población hace que los resultados sean diferentes.

En un experimento aleatorio se considera que exista la repetición cuando un elemento de la población se puede repetir en los puntos muestrales.

Principio de Multiplicación

Si se desea realizar una actividad que consta de “r” pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de; N1 x N2 x..........x  Nr  maneras o formas.

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser llevado a efecto, uno tras otro.

Ejemplos:

Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?

Solución:

Considerando que r = 4 pasos

N1= maneras de hacer cimientos = 2

N2= maneras de construir paredes = 3

N3= maneras de hacer techos = 2

N4= maneras de hacer acabados = 1

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

El lanzamiento de 3 dados

El lanzamiento de 5 monedas

El lanzamiento de 1 dado y dos monedas

Ver Vídeo Principio de la Multiplicación: https://youtu.be/0oN5B0EXUcw

El principio de multiplicación también se aplica para aquellos casos en los cuales se debe obtener una muestra considerando poblaciones diferentes.

Ejemplo:

Antonio lleva para un viaje 4 pantalones, 5 camisas y 3 pares de zapatos. De cuantas maneras es posible que vista Antonio? R/. 60 combinaciones o posibilidades

Permutación

Una permutación se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del espacio muestral  de un experimento aleatorio, en el cual se considera que existe el orden en la muestra pero no es posible repetir ningún elemento de la población en su conformación.

La fórmula es nPr= n!/(n-r)!  

                                     

Se lee: “la permutación de r en N”

Ejemplos:

De cuantas formas posibles se puede conformar el podio en una carrera de 6 atletas?

r=3, N=6

3P6= 6!/(6-3)!  = 720/(6-3)!  = 720/3! = 720/6 =  120 formas posibles de conformar el podio.

Combinación

La combinatoria se utiliza cuando se quiere calcular el número de elementos del espacio muestral en un experimento aleatorio, el cual no se considera que existe el orden en la muestra y no es posible repetir ningún elemento de la población en su conformación.

Su fórmula es: nCr= n!/[(n-r)!*r!]

Ejemplo:

Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuántos grupos de 4 personas son posibles?

Ver vídeo de Combinaciones y permutaciones: https://youtu.be/3ZVq2KvClZ8

Actividad:

Desarrolla los siguientes ejercicios:

Principio de suma y de Multiplicación.

Un vendedor tiene 7 clientes en Honduras y 13 clientes en Guatemala. ¿De cuántas formas puede él telefonear…

1) A un cliente en Honduras y luego a uno en Guatemala?

2) A un cliente en Honduras o a uno en Guatemala?

Claudia visita una tienda de animales. Hay 37 perros y 15 gatos. ¿De cuántas formas puede comprar…

3) Un perro o un gato?

4) Un perro y un gato?

En una librería hay 11 libros de terror y 5 de misterio. ¿De cuántas formas podemos seleccionar…

5) Terror o misterio?

6) Terror y misterio?

7) Misterio y otro misterio?

Permutaciones:

1.       ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

2.       ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

3.       ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4.       Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

5.       ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

6.       ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Combinaciones

1.       En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

2.       ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

3.       A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

4.       En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

5.       ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

Cálculo de Probabilidades

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

Probabilidad de un evento simple

Probabilidad de un evento compuesto

Ver la explicación: 

Actividad

En grupos de tres, resolver la siguiente actividad:

Para descargar

Espero les haya servido de ayuda.