La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, entre otros.
Las aplicaciones de la derivada en las funciones son:
- Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
- Máximos y Mínimos
- Concavidad y convexidad.
- Puntos de inflexión
Se puede resumir en el siguiente mapa conceptual
1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
Primero, debemos saber que es eso de crecimiento y decrecimiento de una función. Puedes ver el siguiente vídeo para ello:
Ahora, podemos calcular estos intervalos sin necesidad de graficar con la ayuda de la derivada:
- La función es creciente en un punto "a" si la derivada de la función es positiva en dicho punto.
- La función es decreciente en un punto "a" si la derivada de la función es negativa en dicho punto.
2. Máximos y mínimos de una función
Un punto "a" es un máximo o un mínimo si se cumple:
- Si f'(a)=0 y f''(a)≠0
Será un Máximo si f'(a)=0 y f''(a) es menor que cero<0 0="" font="">
Será un Mínimo si f'(a)=0 y f''(a) es mayor que 0
Observemos el siguiente vídeo donde se explicará un ejemplo:
3. Concavidad, Covexidad y Puntos de Inflexión
Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.
Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:
Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.
Con la derivada se tienen los siguientes criterios:
- f''(a) es mayor que 0, la función es Convexa
- f''(a) es menor que 0 la función es Cóncava
Puntos de Inflexión:
En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Con la derivada se puede determinar si un punto es una inflexión así:
Si f''(a)=0 y f'''(a)≠0 entonces es un punto de inflexión
Observen los siguientes vídeos:
En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Con la derivada se puede determinar si un punto es una inflexión así:
Si f''(a)=0 y f'''(a)≠0 entonces es un punto de inflexión
Observen los siguientes vídeos:
Otros ejemplos:
Calculadora de derivadas
Aunque debes derivar por ti solo, una ayuda no cae mal para rectificar los cálculos. En Internet, puedes encontrar varias, recomiendo estas dos:
Calculadora de derivadas
Aunque debes derivar por ti solo, una ayuda no cae mal para rectificar los cálculos. En Internet, puedes encontrar varias, recomiendo estas dos:
Igual hay aplicaciones para celular en este sentido.
Ejercicios Interactivos:
Ejercicios Resueltos
Para finalizar
Espero les haya sido de utilidad. En el canal de JulioProfe se encuentran mas vídeos categorizados sobre aplicaciones de las derivadas.
Hasta pronto...
