lunes, 9 de octubre de 2017

Aplicaciones de la Derivada

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, entre otros.

Las aplicaciones de la derivada en las funciones son: 
  1. Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.
  2. Máximos y Mínimos
  3. Concavidad y convexidad.
  4. Puntos de inflexión
Se puede resumir en el siguiente mapa conceptual



1. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

Primero, debemos saber que es eso de crecimiento y decrecimiento de una función. Puedes ver el siguiente vídeo para ello:



Ahora, podemos calcular estos intervalos sin necesidad de graficar con la ayuda de la derivada:

  • La función es creciente en un punto "a" si la derivada de la función es positiva en dicho punto.
  • La función es decreciente en un punto "a" si la derivada de la función es negativa en dicho punto.
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos hacer como se explica en el siguiente vídeo:




2. Máximos y mínimos de una función

Un punto "a" es un máximo o un mínimo si se cumple:
  • Si f'(a)=0 y f''(a)≠0
Será un Máximo si f'(a)=0 y f''(a) es menor que cero<0 0="" font="">

Será un Mínimo si f'(a)=0 y f''(a) es mayor que 0

Observemos el siguiente vídeo donde se explicará un ejemplo:


3. Concavidad, Covexidad y Puntos de Inflexión

Una función es cóncava en un intervalo de su dominio cuando:

Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por debajo de la gráfica.


Una función es convexa en un intervalo de su dominio cuando:


Dados dos puntos cualesquiera de dicho intervalo x1 y x2, el segmento que une los puntos (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) siempre queda por encima de la gráfica.

Con la derivada se tienen los siguientes criterios:

  • f''(a) es mayor que 0, la función es Convexa
  • f''(a) es menor que 0 la función es Cóncava
Puntos de Inflexión:

En un punto de inflexión la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

Con la derivada se puede determinar si un punto es una inflexión así:

Si f''(a)=0 y f'''(a)≠0 entonces es un punto de inflexión

Observen los siguientes vídeos:




Otros ejemplos:

Calculadora de derivadas

Aunque debes derivar por ti solo, una ayuda no cae mal para rectificar los cálculos. En Internet, puedes encontrar varias, recomiendo estas dos:
Igual hay aplicaciones para celular en este sentido.

Ejercicios Interactivos:

Ejercicios Resueltos




Para finalizar

Espero les haya sido de utilidad. En el canal de JulioProfe se encuentran mas vídeos categorizados sobre aplicaciones de las derivadas.

Hasta pronto...