domingo, 13 de marzo de 2016

Funciones

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los elementos que forman el conjunto de datos de Y, también se le llama Rango).

En un lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

                          1 --------   1

                          2 --------   4

                          3 --------   9

                          4 -------- 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

                          1 --------  1

                          2 --------  4

                          3 --------  9

                          4 -------- 16

                           x -------- x2


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x -------- x2    o     f(x) = x2


Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

                                           x --------> x2      o     f(x) = x2

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.


Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = x2, etc.

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

                                              x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:


Conjunto X
Conjunto Y
Desarrollo
− 2
− 1
f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1
1
f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0
3
f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1
5
f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2
7
f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3
9
f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4
11
f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

 Tomado y adaptado de profesorenlinea.cl

Tipos o clases de funciones

Veamos este vídeo donde podremos ver las diferentes clases de funciones y el dominio y rango respectivo de cada una de ellas:



Bueno, ahí nos falta una en especial, que vamos a ver en este año, que son las funciones trigonométricas.



Continuaremos hablando de cada una de ellas...


Dominio y Rango de una función

El dominio y el rango de una función están normalmente limitados por la naturaleza de la relación. Por ejemplo, considera la función de tiempo y altura que ocurre cuando lanzas una pelota al aire y luego la atrapas. El tiempo es la entrada, la altura es la salida. 
El dominio es cada valor de tiempo durante el lanzamiento, e inicia desde el instante en que la pelota abandona tu mano hasta el instante que la pelota regresa a ella. El tiempo antes de que la lances y el tiempo después de que la atrapas es irrelevante, ya que la función sólo aplica para la duración del lanzamiento. Digamos que la pelota estuvo en el aire durante 10 segundos — en ese caso, el dominio es 0-10 segundos.

El rango es cada altura de la pelota mientras está en el aire, e incluye todas las alturas, desde la altura de tu mano cuando lanzaste la pelota, hasta el punto más alto alcanzado antes que ésta empezara a caer. Si tu mano estaba a 1,5 metros del suelo cuando aventaste y atrapaste la pelota, y la distancia más alta que alcanzó fue de 5 metros también con respecto al suelo, entonces el rango es de 1,5 hasta 5 metros.

Resumiendo:  El dominio es la entrada, el valor independiente — es lo que entra a la función. El rango es la salida, el valor dependiente — es lo que sale de la función.
Tomado y adaptado de montereyinstitute.org


Dominio y Rango en forma gráfica.

Veamos los siguientes ejemplos:





Dominio y rango en forma analítica para funciones polinómicas, racionales y con radicales

Observemos el siguiente vídeo: