martes, 1 de marzo de 2016

Números Irracionales

Un número irracional es un número que no se puede escribir como fracción, es decir de la forma a/b y es su forma decimal es infinito no periódico (no se repite ningún patrón de números)

Un ejemplo famoso es el número Pi, es un número irracional. 
El valor de Pi es 3,1415926535897932384626433832795 (y más...)

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.



Números como 22/7 = 3,1428571428571... se acercan pero no son correctos.


Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción).

Racional o irracional

Pero si un número se puede escribir en forma de fracción, es decir de la forma a/b, se le llama número racional:

Ejemplo: 9,5 se puede escribir en forma de fracción así: 19/2 = 9,5. Así que no es irracional (es un número racional)

Otros ejemplos:



¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?

En la calculadora obtenemos que la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.

No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz cuadrada de 2.

Así que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.


Demostración de la Irracionalidad de Raíz cuadrada de 2



Números irracionales famosos


Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)



e
El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)


phi
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1,61803398874989484820... (y más...)



Radicales
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc)


Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Historia de los números Irracionales

Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras  nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El conocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llegó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.


Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto.

Explicación en vídeo de los números Irracionales:



Representación números irracionales en la recta real